來源：初中數(shù)學(xué)競賽 2005-09-09 16:17:14
例1 如圖2-76所示．△ABC中，AD是∠BAC的平分線．求證：AB∶AC=BD∶DC．
分析 設(shè)法通過添輔助線構(gòu)造相似三角形，這里應(yīng)注意利用角平分線產(chǎn)生等角的條件．
證 過B引BE∥AC，且與AD的延長線交于E．因?yàn)?/FONT>AD平分∠BAC，所以∠1=∠2．又因?yàn)?/FONT>BE∥AC，所以
∠2=∠3．
從而∠1=∠3，AB=BE．顯然
△BDE∽△CDA，
所以 BE∶AC=BD∶DC，
所以 AB∶AC=BD∶DC．
說明 這個例題在解決相似三角形有關(guān)問題中，常起重要作用，可當(dāng)作一個定理使用．類似的還有一個關(guān)于三角形外角分三角形的邊成比例的命題，這個命題將在練習(xí)中出現(xiàn)，請同學(xué)們自己試證．
在構(gòu)造相似三角形的方法中，利用平行線的性質(zhì)(如內(nèi)錯角相等、同位角相等)，將等角“轉(zhuǎn)移”到合適的位置，形成相似三角形是一種常用的方法．
例2 如圖 2-77所示．在△ABC中，AM是BC邊上的中線，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延長線于D，且交AM延長線于F．求證：EF∥AB．
分析 利用角平分線分三角形中線段成比例的性質(zhì)，構(gòu)造三角形，設(shè)法證明△MEF∽△MAB，從而EF∥AB．
證 過B引BG∥AC交AE的延長線于G，交AM的延長線于H．因?yàn)?/FONT>AE是∠BAC的平分線，所以
∠BAE=∠CAE．
因?yàn)?/FONT>BG∥AC，所以
∠CAE=∠G，∠BAE=∠G，
所以 BA=BG．
又BD⊥AG，所以△ABG是等腰三角形，所以
∠ABF=∠HBF，
從而
AB∶BH=AF∶FH．
又M是BC邊的中點(diǎn)，且BH∥AC，易知ABHC是平行四邊形，從而
BH=AC，
所以 AB∶AC=AF∶FH．
因?yàn)?/FONT>AE是△ABC中∠BAC的平分線，所以
AB∶AC=BE∶EC，
所以 AF∶FH=BE∶EC，
即
(AM+MF)∶(AM-MF)=(BM+ME)∶(BM-ME)(這是因?yàn)?/FONT>ABHC是平行四邊形，所以AM=MH及BM=MC．)．由合分比定理，上式變?yōu)?/FONT>
AM∶MB=FM∶ME．
在△MEF與△MAB中，∠EMF=∠AMB，所以
△MEF∽△MAB
(兩個三角形兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．)．所以
∠ABM=∠FEM，
所以 EF∥AB．
例3 如圖2-78所示．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．
即可，為此若能設(shè)法利用長度分別為AB，BC，CA及l=AB＋AC這4條線段，構(gòu)造一對相似三角形，問題可能解決．
注意到，原△ABC中，已含上述4條線段中的三條，因此，不妨以原三角形ABC為基礎(chǔ)添加輔助線，構(gòu)造一個三角形，使它與△ABC相似，期望能解決問題．
證 延長AB至D，使BD=AC(此時，AD=AB＋AC)，又延長BC至E，使AE=AC，連結(jié)ED．下面證明，△ADE∽△ABC．
設(shè)∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，則
∠A+∠B+∠C=7α=180°．
由作圖知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以
∠ACE=180°-4α＝3α，
所以 ∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．
從而
∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．
又由作圖
AE=AC，AE=BD，
所以 BE=BD，
△BDE是等腰三角形，所以
∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，
所以 △ABC∽△DAE，
所以
例4 如圖2-79所示．P，Q分別是正方形ABCD的邊AB， BC上的點(diǎn)，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求證：QH⊥DH.
分析 要證QH⊥DH，只要證明∠BHQ=∠CHD．由于△PBC是直角三角形，且BH⊥PC，熟知∠PBH=∠PCB，從而∠HBQ=∠HCD，因而△BHQ與△DHC應(yīng)該相似．
證 在Rt△PBC中，因?yàn)?/FONT>BH⊥PC，所以
∠PBC=∠PHB=90°，
從而 ∠PBH=∠PCB．
顯然，Rt△PBC∽Rt△BHC，所以
由已知，BP=BQ，BC=DC，所以
因?yàn)椤?/FONT>ABC=∠BCD=90°，所以
∠HBQ=∠HCD，
所以 △HBQ∽△HCD，∠BHQ=∠DHC，
∠BHQ＋∠QHC=∠DHC＋∠QHC．
又因?yàn)?/P>
∠BHQ＋∠QHC=90°，
所以 ∠QHD=∠QHC＋DHC=90°，
即 DH⊥HQ．
例5 如圖2-80所示．P，Q分別是Rt△ABC兩直角邊AB，AC上兩點(diǎn)，M為斜邊BC的中點(diǎn)，且PM⊥QM．求證：
PB2＋QC2=PM2＋QM2．
分析與證明 若作MD⊥AB于D，ME⊥AC于E，并連接PQ，則
PM2＋QM2=PQ2=AP2＋AQ2．
于是求證式等價(jià)于
PB2+QC2=PA2+QA2， ①
等價(jià)于
PB2-PA2=QA2-QC2． ②
因?yàn)?/FONT>M是BC中點(diǎn)，且MD∥AC，ME∥AB，所以D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，即有
AD=BD，AE=CE，
�、诘葍r(jià)于
(AD＋PD)2-(AD-PD)2
=(AE＋EQ)2-(AE-EQ)2， ③
③等價(jià)于
AD?PD=AE?EQ． ④
因?yàn)?/FONT>ADME是矩形，所以
AD=ME，AE=MD，
故④等價(jià)于
ME?PD=MD?EQ． ⑤
為此，只要證明△MPD∽△MEQ即可．
下面我們來證明這一點(diǎn)．
事實(shí)上，這兩個三角形都是直角三角形，因此，只要再證明有一對銳角相等即可．由于ADME為矩形，所以
∠DME=90°=∠PMQ(已知)． ⑥
在⑥的兩邊都減去一個公共角∠PME，所得差角相等，即
∠PMD=∠QME． ⑦
由⑥，⑦，所以
△MPD∽△MEQ．
由此⑤成立，自⑤逆上，步步均可逆推，從而①成立，則原命題獲證．
例6 如圖2-81所示．△ABC中，E，D是BC邊上的兩個三等分點(diǎn)，AF=2CF，BF=12厘米．求：FM，MN，BN的長．
解 取AF的中點(diǎn)G，連接DF，EG．由平行線等分線段定理的逆定理知DF∥EG∥BA，所以
△CFD∽△CAB，△MFD∽△MBA．
所以MB=3MF，從而BF=4FM=12，所以
FM=3(厘米)．
又在△BDF中，E是BD的中點(diǎn)，且EH∥DF，所以
因?yàn)?/FONT>EH∥AB，所以△NEH∽△NAB，從而
顯然，H是BF的中點(diǎn)，所以
故所求的三條線段長分別為
練習(xí)十六
1．如圖2-82所示．在△ABC中，AD是∠BAC的外角∠CAE的平分線．求證：AB∶AC=BD∶DC．
2．如圖2-83所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求證：EF∥BC．
3．如圖2-84所示．在△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求證：
PB2＝PA?PC．
(提示：設(shè)法證明△PAB∽△PBC．)
4．如圖2-85所示．D是等腰直角三角形ABC的直角邊BC的中點(diǎn)，E在斜邊AB上，且AE∶EB=2∶1．求證：CE⊥AD．
5．如圖2-86所示．Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，P為AD的中點(diǎn)，延長BP交AC于E，過E作EF⊥BC于F．求證：EF2=AE?EC．
6．在△ABC中，E，F是BC邊上的兩個三等分點(diǎn)，BM是AC邊上的中線，AE，AF分別與BM交于D，G．求：BD∶DG∶GM．
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