第一講 分式方程(組)的解法

此方程無實(shí)數(shù)根．

x＋9=0，x=-9．

　　經(jīng)檢驗(yàn)知，x=-9是原方程的根．

　　例4 解方程

　　分析與解 方程中各項(xiàng)的分子與分母之差都是1，根據(jù)這一特點(diǎn)把每個(gè)分式化為整式和真分式之和，這樣原方程即可化簡(jiǎn)．原方程化為

　　例5 解方程

　　分析與解 注意到方程左邊每個(gè)分式的分母中兩個(gè)一次因式的差均為常數(shù)1，故可考慮把一個(gè)分式拆成兩個(gè)分式之差的形式，用拆項(xiàng)相消進(jìn)行化簡(jiǎn)．原方程變形為

x²＋9x-22＝0，

解得 x₁=2，x₂=-11．

　　經(jīng)檢驗(yàn)知，x₁=2，x₂=-11是原方程的根．

　　例6 解方程

　　　　　　x=0或2x²-3x-2=2x²+5x-3．

　　例7 解方程

　　分析與解 形式與上例相似．本題中分子與分母只是一次項(xiàng)的符號(hào)相反，故可考慮用合分比定理化簡(jiǎn)．原方程變形為

當(dāng)x≠0時(shí)，解得x=±1．

　　經(jīng)檢驗(yàn)，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根．

　　說明 使用合分比定理化簡(jiǎn)時(shí)，可能發(fā)生增根和失根的現(xiàn)象，需細(xì)致檢驗(yàn)．

　　例8 解方程

　　解 將原方程變形為

　　例9 解關(guān)于x的方程

　　將x₁=a-2b或x₂=b-2a代入分母b+x，得a-b或2(b-a)，所以，當(dāng)a≠b時(shí)，x₁=a-2b及x₂=b-2a都是原方程的根．當(dāng)a=b時(shí)，原方程無解．

　　例10 如果方程

只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的值及對(duì)應(yīng)的原方程的根．

　　分析與解 將原方程變形，轉(zhuǎn)化為整式方程后得

2x²-2x+(a+4)=0． ①

原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，方程①的根的情況只能是：(1)方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即

△=4-4?2(a+4)=0．

　　(2)方程①有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，而其中一根使原方程分母為零，即方程①有一個(gè)根為0或2．

　　(i)當(dāng)x=0時(shí)，代入①式得a+4=0，即a=-4．這時(shí)方程①的另一個(gè)根是x=1(因?yàn)?/FONT>2x²-2x=0，x(x-1)=0，x₁=0或x₂＝1．而x₁＝0是增根)．它不使分母為零，確是原方程的唯一根．