在教科書上，我們已經(jīng)知道了二元一次方程組、三元一次方程組以及簡(jiǎn)單的二元二次方程組的解法．利用這些知識(shí)，可以研究一次函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的圖像以及與此有關(guān)的問題．本講再介紹一些解方程組的方法與技巧．
1．二元二次方程組
解二元二次方程組的基本途徑是“消元”和“降次”．
由一個(gè)二次和一個(gè)一次方程組成的二元二次方程組的一般解法是代入法，由兩個(gè)二次方程組成的二次方程組在中學(xué)階段只研究它的幾種特殊解法．
如果兩個(gè)方程的二次項(xiàng)的對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例，可用加減消元法消去二次項(xiàng)．
例1 解方程組
解 ②×2-①×3得
4x＋9y-6＝0．
方程組中含有某一未知數(shù)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)的比相等，可用加減消元法消去這個(gè)未知數(shù)．
例2 解方程組
解 ②×(-2)+①得
3y2+3y-6=0，
所以 y1=1，y2=-2．
解方程組
與
得原方程組的解
方程組中至少有一個(gè)方程可以分解為一次方程的方程組，可用因式分解法解．
例3 解方程組
解 由②得
(2x+y)(x-2y)=0，
所以 2x+y=0或x-2y=0．
因此，原方程組可化為兩個(gè)方程組
與
解這兩個(gè)方程組得原方程組的解為
如果兩個(gè)方程都沒有一次項(xiàng)，可用加減消元法消去常數(shù)項(xiàng)，再用因式分解法求解．
例4 解方程組
解 由①-②×2得
x2-2xy-3y2=0，
即 (x+y)(x-3y)=0，
所以 x＋y=0或x-3y=0．
分別解下列兩個(gè)方程組
得原方程組的解為
2．二元對(duì)稱方程組
方程中的未知數(shù)x，y互換后方程保持不變的二元方程叫作二元對(duì)稱方程．例如
x2-5xy＋y2-3x-3y=7，
等都是二元對(duì)稱方程．
由二元對(duì)稱方程組成的方程組叫作二元對(duì)稱方程組．例如
等都是二元對(duì)稱方程組．
我們把
叫作基本對(duì)稱方程組．基本對(duì)稱方程組通常用代入法或韋達(dá)定理求解．
例5 解方程組
解 方程組中的x，y分別是新方程
m2-5m+4=0
的兩個(gè)解．解關(guān)于m的一元二次方程得m1=1，m2=4，所以原方程組的解是
這個(gè)方程組亦可用代入法求解(略)．
由于一般的二元對(duì)稱式總可以用基本對(duì)稱式x+y和xy表示，因此在解二元對(duì)稱方程組時(shí)，一定可以用x＋y和xy作為新的未知數(shù)，通過換元轉(zhuǎn)化為基本對(duì)稱方程組．
例6 解方程組
解 原方程組可變形為
①×2＋②得
令u=x＋y，則
即
而方程組
無實(shí)數(shù)解．
綜上所述，方程組的解為
例7 解方程組
分析 本題是一個(gè)對(duì)稱方程組的形式，觀察知它可轉(zhuǎn)化為基本對(duì)稱方程組的形式．
解 由①得
xy=16． ④
由②，④可得基本對(duì)稱方程組
于是可得方程組的解為
例8 解方程組
分析 本題屬于二元輪換對(duì)稱方程組類型，通�？梢园褍蓚�(gè)方程相減，因?yàn)檫@樣總能得到一個(gè)方程x-y=0，從而使方程降次化簡(jiǎn)．
解 ①-②，再因式分解得
(x-y)(x+y-10)=0，
所以 x-y-0或x＋x-10=0．
解下列兩個(gè)方程組
得原方程組的四組解為
例9 解方程組
解法1 用換元法．設(shè)
4x＋5=A，4y+5=B，
則有
即
③-④并平方得
整理得
所以
因此A-B=0或
分別解下列兩個(gè)方程組
與
經(jīng)檢驗(yàn)，A=B=9適合方程③，④，由此得原方程組的解是
解法2 ①-②得
即
所以x-1與y-1同號(hào)或同為零．由方程①得
所以x-1與y-1不能同正，也不能同負(fù)．從而
x-1=0，y-1=0．
由此解得
經(jīng)檢驗(yàn)，x=1，y=1是方程組的解．
練習(xí)四
1．填空：
(1)方程組
的解有_____組．
(2)若x，y是方程組
(3)已知3a+b+2c=3，且a+3b+2c=1，則2a+c=_____．
(4)已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足方程組
則xyz=________．
2．解方程組：
3．設(shè)a，b，c，x，y，z都是實(shí)數(shù)．若
4．已知一元二次方程
a(x＋1)(x+2)+b(x+2)(x＋3)＋c(x＋3)(x＋1)=0
有兩根0，1，求a∶b∶c．
5．(1)解方程組
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