數(shù)學(xué)概念具有抽象性和具體性的雙重特點(diǎn)

　　數(shù)學(xué)概念具有抽象性和具體性的雙重特點(diǎn)，弄清楚概念的內(nèi)涵和外延是正確思維的必要條件，也是判斷、推理的基礎(chǔ)，各種思維要素的合理使用，往往都脫離不開基本的數(shù)學(xué)概念，學(xué)好數(shù)學(xué)，一定要養(yǎng)成深摳概念的好習(xí)慣，把概念理解得生動(dòng)、形象、具體、深入淺出。為達(dá)此目的，應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念“九要”：

 

　　1.復(fù)雜概念要突出“關(guān)鍵詞語”，如“映射”這個(gè)重要概念要抓住方向性：“從集合A到集合B”，同時(shí)還要抓住“任一”對應(yīng)“唯一”。

 

　　2.相應(yīng)概念容易混淆，要注意類比，如排列與組合的差異是“序”，“截距”和“距離”的區(qū)別是“向”;二面角是圖形，二面角的平面角是一個(gè)角。

 

　　3.正反結(jié)合揭示概念的本質(zhì)。如函數(shù)、反函數(shù)的概念，曲線和方程的概念，只有做兩面思考，才能深入體會(huì)。再如反三角函數(shù)概念，實(shí)際上就是在指定單調(diào)區(qū)間上的三角函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系。

 

　　4.要注意概念的引入過程。如立體幾何的任何一個(gè)概念的引入都有豐富的直觀背景;排列組合問題用“對號(hào)入座法”或畫樹圖都是在告訴我們?nèi)绾嗡伎�，�?guī)律是怎樣找到的。等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程告訴我們“倒寫求和法”和“錯(cuò)位相消法”。

 

　　5.掌握新概念要注意溫故知新。如充要條件是非常重要的數(shù)學(xué)概念，它只有在理解掌握四個(gè)命題的基礎(chǔ)上，深入研究命題之間的相互關(guān)系，順理成章把認(rèn)識(shí)升華，樹立起等價(jià)思想，才能學(xué)會(huì)用充要條件分析、認(rèn)識(shí)、處理數(shù)學(xué)問題。簡易邏輯關(guān)系是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一個(gè)“魂”。

 

　　6.鞏固和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，特別是在運(yùn)算、推理、選擇、證明中，要注意自覺地讓概念發(fā)生作用。如證函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性，證明一個(gè)數(shù)列是等差(比)數(shù)列，用的方法都是“定義法”;解數(shù)學(xué)選擇題經(jīng)常通過“概念判斷”否掉一些選項(xiàng);學(xué)習(xí)好立體幾何的標(biāo)志是空間概念的形成。同學(xué)們一定要走出“學(xué)數(shù)學(xué)就是解題”的誤區(qū)，掌握好“四基”：基本概念、基本運(yùn)算、基本方法、基本應(yīng)用，才是扎扎實(shí)實(shí)打基礎(chǔ)。

 

　　7.概念的抽象性是逐步加深、連續(xù)發(fā)展的，要抓住這一特點(diǎn)，不斷深化自己對概念的理解，如平面幾何中用兩點(diǎn)間距離定義點(diǎn)到直線的距離，平行線間的距離，進(jìn)而得到立體幾何中的一大難點(diǎn)——異面直線的距離，對距離的認(rèn)識(shí)一般化了，若把向量復(fù)數(shù)的模及解析幾何中和距離有關(guān)的軌跡問題也納入自己的認(rèn)知范疇，則距離就“活”起來了。再如函數(shù)概念從具體的正比例函數(shù)、一次函數(shù)入手，逐步上升到一般的數(shù)值函數(shù)概念;從“變量之間的相互關(guān)系”，到兩個(gè)集合間的“映射”，函數(shù)概念有層次地一次又一次地抽象，開始接近現(xiàn)代函數(shù)概念(只是開始接近，我們掌握的函數(shù)“三要素”并沒有完全反映函數(shù)的本質(zhì)特征)，同學(xué)們學(xué)習(xí)了概率和微積分后，會(huì)感到隨處定義和單值對應(yīng)更能反映函數(shù)的本質(zhì)特征。

 

　　8.較難概念要逐步剖析，力求抽象問題具體化。如畫樹圖，從兩個(gè)圓的位置關(guān)系容易理解子集、交集、并集、補(bǔ)集、全集;簡易邏輯“或”“且”“非”也容易從中找到答案。認(rèn)識(shí)變量、掌握函數(shù)特點(diǎn)、掌握研究函數(shù)的方法，數(shù)形結(jié)合，立即化難為易。

 

　　9.要注意發(fā)揮概念體系的整體功能。如函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的綱，對函數(shù)的理解應(yīng)用水平是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)成敗的關(guān)鍵;對“曲線與方程”五個(gè)字的雙向理解則抓住了全部解析幾何的精髓。函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合思想，分類思想，化歸或變換轉(zhuǎn)化的思想是駕馭數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂，充分發(fā)揮這些概念體系的整體功能，就真正做到了大處著眼，學(xué)習(xí)效果會(huì)倍增。