初中數(shù)學(xué)知識點：軸對稱

　　軸對稱知識點

 

　　一、軸對稱與軸對稱圖形：

 

　　1.軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，兩個圖形中的對應(yīng)點叫做對稱點，對應(yīng)線段叫做對稱線段。

 

　　2.軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。

 

　　注意：對稱軸是直線而不是線段

 

　　3.軸對稱的性質(zhì)：

 

　　(1)關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形;

 

　　(2)如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線;

 

　　(3)兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上;

 

　　(4)如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱。

 

　　4.線段垂直平分線：

 

　　(1)定義：垂直平分一條線段的直線是這條線的垂直平分線。

 

　　(2)性質(zhì)：①線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等;

 

　�、诘揭粭l線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

 

　　注意：根據(jù)線段垂直平分線的這一特性可以推出：三角形三邊的垂直平分線交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。

 

　　5.角的平分線：

 

　　(1)定義：把一個角分成兩個相等的角的射線叫做角的平分線.

 

　　(2)性質(zhì)：①在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

 

　　②到一個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上.

 

　　注意：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，三角形的三個內(nèi)角的平分線交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.

 

　　6.等腰三角形的性質(zhì)與判定：

 

　　性質(zhì)：

 

　　(1)對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸，或底邊上的高所在的直線是它的對稱軸，或頂角的平分線所在的直線是它的對稱軸;

 

　　(2)三線合一：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合;

 

　　(3)等邊對等角：等腰三角形的兩個底角相等。

 

　　說明：等腰三角形的性質(zhì)除“三線合一”外，三角形中的主要線段之間也存在著特殊的性質(zhì)，如：①等腰三角形兩底角的平分線相等;②等腰三角形兩腰上的中線相等;

 

　�、鄣妊�三角形兩腰上的高相等;④等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等。

 

　　判定定理：如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡稱：等角對等邊)。

 

　　7.等邊三角形的性質(zhì)與判定：

 

　　性質(zhì)：(1)等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60°;

 

　　(2)等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì)，并且在每條邊上都有“三線合一”。因此等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，而等腰三角形(非等邊三角形)只有一條對稱軸。

 

　　判定定理：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

 

　　說明：等邊三角形是一種特殊的三角形，容易知道等邊三角形的三條高(或三條中線、三條角平分線)都相等。

 

　　二、中心對稱與中心對稱圖形：

 

　　1.中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠和另外一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的對稱點。

 

　　2.中心對稱圖形：在平面內(nèi)，一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。

 

　　3.中心對稱的性質(zhì)：(1)關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形;

 

　　(2)在成中心對稱的兩個圖形中,連接對稱點的線段都經(jīng)過對稱中心,并且被對稱中心平分;

 

　　(3)成中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行(或在同一直線上)且相等。

 

　　三、軸對稱與中心對稱的區(qū)別與聯(lián)系：

 

　　

 

　　四、幾種常見的軸對稱圖形和中心對稱圖形：

 

　　軸對稱圖形：線段、角、等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圓

 

　　對稱軸的條數(shù)：角有一條對稱軸，即該角的角平分線;等腰三角形有一條對稱軸，是底邊的垂直平分線;等邊三角形有三條對稱軸，分別是三邊上的垂直平分線;菱形有兩條對稱軸，分別是兩條對角線所在的直線，矩形有兩條對稱軸分別是兩組對邊中點的直線;

 

　　中心對稱圖形：線段 、平行四邊形、菱形、矩形、正方形、圓

 

　　對稱中心：線段的對稱中心是線段的中點;平行四邊形、菱形、矩形、正方形的對稱中心是對角線的交點，圓的對稱中心是圓心。

 

　　說明：線段、菱形、矩形、正方形以及圓它們即是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。

 

　　五、坐標(biāo)系中的軸對稱變換與中心對稱變換：

 

　　點P(x,y)關(guān)于x軸對稱的點P1的坐標(biāo)為(x,-y)，關(guān)于y軸對稱的點P2的坐標(biāo)為(-x,y)。關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)P3的坐標(biāo)是(-x,-y)這個規(guī)律也可以記為：關(guān)于y軸(x軸)對稱的點的縱坐標(biāo)(橫坐標(biāo))相同，橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo))互為相反數(shù)。 關(guān)于原點成中心對稱的點的，橫坐標(biāo)為原橫坐標(biāo)的相反數(shù)，縱坐標(biāo)為原縱坐標(biāo)的相反數(shù)，即橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)同乘以-1。

 

　　常見考法

 

　　(1)判別某些圖形是不是軸對稱圖形能找出對稱軸，對稱軸的條數(shù)、判別某些圖形是中心對稱圖形能找到對稱中心;(2)利用垂直平分線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)證明一些結(jié)論;(3)利用等腰三角形三線合一性質(zhì)證明線段相等、線段垂直;(4)直接證明某一個三角形是等腰三角形;(4)軸對稱圖形的實際應(yīng)用(如鏡子中的軸對稱問題、解決一些折疊問題、還有求幾個線段之和最短問題)。

 

　　誤區(qū)提醒

 

　　(1)把軸對稱與軸對稱圖形的概念、中心對稱與中心對稱圖形的概念混淆;(2)把軸對稱與全等混淆;(3)找軸對稱圖形的對稱軸不全、不準(zhǔn);(4)在解有關(guān)等腰三角形問題時，沒有進(jìn)行分類討論，造成漏解。