來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2022-10-12 15:26:27
分式約分的主要步驟
(1)分子分母分解因式
(2)約去分子分母所有公因式
(3)化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)的分式或整式
就像籃球投進(jìn)籃筐,需要你遵循最省力、最不易錯(cuò)的方式。你并非天生就能掌握這種感覺,需要你反復(fù)調(diào)整動(dòng)作。
做數(shù)學(xué)題也一樣,要通過訓(xùn)練去培養(yǎng)不易錯(cuò)的解題思路,最大限度節(jié)省腦力。否則會(huì)遇到亂用腦力,導(dǎo)致腦力耗盡,最終無法在有限時(shí)間內(nèi)答完或做對(duì)題目。
要為一次性做對(duì)不斷積累自己的經(jīng)驗(yàn),共勉。
2.基本技巧
2.1.互有比例,統(tǒng)一未知數(shù)
例題:已知a2=b3=c4,求2a2−3bc+b2a2−2ab−c2
多個(gè)未知數(shù),任意兩個(gè)都存在比例關(guān)系時(shí),統(tǒng)一為一個(gè)未知數(shù)。
解:設(shè)a2=b3=c4=x,則a=2x,b=3x,c=4x
2a2−3bc+b2a2−2ab−c2=2×4x2−3×12x2+9x24x2−2×6x2−16x2=−19x2−24x2=1924
2.2.先化簡(jiǎn)、再代入
例題:已知x=a+1a−1,則x+1x等于?
下意識(shí)的,先對(duì)要求的式子進(jìn)行化簡(jiǎn):x+1x=1+1x
此刻,就只需要帶入一個(gè)1x,易得:1+1x=1+a−1a+1=2aa+1
2.3.熟記公式,最后帶入數(shù)值
例題:當(dāng)x=2022,y=1949時(shí),代數(shù)式x4−y4x2+2xy+y2⋅x+yx2+y2的值為?
乍一看,右邊的代數(shù)式很唬人,但是我們還是本著先化簡(jiǎn)的原則。先用平方差公式轉(zhuǎn)化x4−y4:
原式=(x2+y2)(x2−y2)x2+2xy+y2⋅x+yx2+y2,約分得
原式=x2−y2x2+2xy+y2⋅x+y1再用平方差公式轉(zhuǎn)化x2−y2,采用完全平方公式轉(zhuǎn)化x2+2xy+y2
原式=(x+y)(x−y)(x+y)2⋅(x+y)=x−y
然后再帶入數(shù)值,得原式:x−y=2022−1949=73
這里要提到嚴(yán)伯鈞在老師那里學(xué)到的避免馬虎的方法:代數(shù)的部分先完成,最后再帶入數(shù)字。既可以讓思維連貫,又可以在大題中多得分。
2.4.向已知條件湊攏
例題:已知a+b+c=0,則a(1b+1c)+b(1a+1c)+c(1a+1b)的值是?
看右邊這個(gè)代數(shù)式如此復(fù)雜,肯定是要先通分找找思路的,故通分,得:
原式=a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2abc
由于我們只有已知的a+b+c=0,解題都是由已知推未知,我們先向著這個(gè)式子靠攏,起碼要湊這個(gè)式子。
由于問題是求這個(gè)式子的值,不是化簡(jiǎn)這個(gè)式子?隙ǚ肿涌梢宰兂蒼⋅abc的格式,故上面要湊這個(gè)格式。
由這兩個(gè)條件去構(gòu)造,確實(shí)需要費(fèi)點(diǎn)心思的。幾次嘗試后就可以得出:
原式=a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2abc
原式=ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)abc
原式=ab(a+b+c−c)+ac(a+b+c−b)+bc(a+b+c−a)abc
原式=ab(a+b+c)−abc+ac(a+b+c)−abc+bc(a+b+c)−abcabc
因?yàn)閍+b+c=0,所以上式可以化簡(jiǎn)成:
−3abcabc=−3
2.5.通分時(shí),把剩余部分看做整體
例題:化簡(jiǎn)a2a−1−a−1
我們第一反應(yīng)就是通分,但是把什么看做整體也很重要,我們要通分就一趟搞定,別做零碎的計(jì)算。
這里,我們要把右邊的式子看做整體:
原式 =a2a−1−(a+1)
原式 =a2a−1−(a+1)(a−1)a−1
原式 =a2−a2+1a−1
原式 =1a−1
此法可以減少通分失誤
2.6. 直接帶入困難,發(fā)掘已知條件
例題:已知x2−5x+1=0求x4+1x4的值
首先我們看右邊的式子不算復(fù)雜,是不是化簡(jiǎn)帶入就可以。然后我們?nèi)タ匆幌伦髠?cè)的式子解x是個(gè)什么值。發(fā)現(xiàn)x的根為:5±212,我們初步否定這種計(jì)算量的大的方案,開始思考右邊的代數(shù)式有何特征。
我們發(fā)現(xiàn):x4+1x4=(x2+1x2)2−2
又一想,其實(shí):x2+1x2=(x+1x)2−2
這樣就忍不住去想,若能直接獲得一個(gè)x+1x就省事了,觀察一直的式子,可以發(fā)現(xiàn),x2−5x+1=0除以一個(gè)x就可以得到:
x+1x=5
按照已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,最終求出:代數(shù)式的值為 527.
本題中,我們需要挖掘已知條件,讓兩個(gè)式子產(chǎn)生聯(lián)系。挖掘代數(shù)式的核心,然后再視一個(gè)代數(shù)式為整體去思考如何解題。其實(shí)我們潛移默化中使用了換元法,好似令t=x+1x。
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