利用二次函數(shù)圖像判斷各系數(shù)之間的關(guān)系，是中考數(shù)學(xué)的常考題型，因?yàn)榫C合性較高，題目較難，通常放在選擇題或者填空題最后一題，作為小題的壓軸題。因此，需要各位同學(xué)認(rèn)真熟悉此種題型的解題方法和技巧。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)
一、基本原理：拋物線(xiàn)與系數(shù)之間的關(guān)系
已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，(a≠0, a、b、c為各項(xiàng)系數(shù))
1、a與拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向及大小之間的關(guān)系
拋物線(xiàn)開(kāi)口向上 a>0，
拋物線(xiàn)開(kāi)口向下 a<0，
|a|越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小
|a|越小，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越大
2、a、b決定拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸 以及 二次函數(shù)的最大最小值
1)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的表達(dá)式：x= - b/2a
① b=0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為x=0，即y軸;
②當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸<0，即對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè);
③當(dāng)a、b異號(hào)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸>0，即對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè);
2)二次函數(shù)的最值
① 當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)在x= - b/2a處，取最小值(4ac - b²)/4a
② 當(dāng)a<0時(shí)，二次函數(shù)在x= - b/2a處，取最大值(4ac - b²)/4a
3、c即拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)
因?yàn)閷?duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當(dāng)x=0時(shí)，y=c;
C>0 、C=0、C<0 ，拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸分別交于y軸正半軸、原點(diǎn)、y軸負(fù)半軸。
4、△ = b²- 4ac 決定拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)
① 當(dāng)△ > 0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
② 當(dāng)△ = 0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)
③ 當(dāng)△ <0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸無(wú)交點(diǎn)
二、數(shù)形結(jié)合：代入特殊值
在確定了拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、最值，以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)后，往往只能解決前面一些較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。我們還需要依據(jù)圖形，代入特殊值，才能解決題目中較難的問(wèn)題。
代入的特殊值一般有x= -1， x= 1， x= -2 ，x=2，x=對(duì)稱(chēng)軸 等，以及圖形中標(biāo)出的特殊數(shù)值，將這些特殊值代入二次函數(shù)解析式中，求出函數(shù)值，然后結(jié)合圖像
(1)與0作比較;
(2)與函數(shù)最值作比較;
(3)如果有一次函數(shù)，與一次函數(shù)值作比較;
(4)或者代入特殊值后，將得到的關(guān)于a、b、c表達(dá)式進(jìn)行加減乘除運(yùn)算等。
下面我們結(jié)合例題進(jìn)行詳細(xì)講解：
三、例題解析
例1、如圖所示，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1.直線(xiàn)y=﹣x+c與拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c交于C、D兩點(diǎn)，D點(diǎn)在x軸下方且橫坐標(biāo)小于3，則下列結(jié)論：①2a+b+c>0; ②a﹣b+c<0; ③x(ax+b)≤a+b; ④a<﹣1.其中正確的是( )
A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①②
解：∵拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，
∴c>0，
∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=− b/(2a) =1，(利用對(duì)稱(chēng)軸公式得出a、b的關(guān)系)
∴b=−2a，
∴2a+b+c=2a−2a+c=c>0，所以①正確;
∵拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(3，0)左側(cè)，
而拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，
∴拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(−1，0)右側(cè)，
∴當(dāng)x=−1時(shí)，y<0，(代入特殊值x=−1，結(jié)合圖像將函數(shù)值與0作比較)
∴a−b+c<0，所以②正確;
∵x=1時(shí)，二次函數(shù)有最大值，(代入特殊值x=1，得出函數(shù)最大值，二次函數(shù)的所有值都小于最大值)
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以③正確;
∵直線(xiàn)y=−x+c與拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c交于C、D兩點(diǎn)，D點(diǎn)在x軸下方且橫坐標(biāo)小于3，
∴x=3時(shí)，一次函數(shù)值比二次函數(shù)值大，
即9a+3b+c<−3+c，(代入特殊值x=3，結(jié)合圖像將二次函數(shù)值與一次函數(shù)值作比較)
而b=−2a，
∴9a−6a<−3，解得a<−1，所以④正確.
故答案為：A.
例2、如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0.5，1)，下列結(jié)論：①ac<0;②a+b=0;③4ac﹣b2=4a;④(a+c)2﹣b2<0.其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
解：由圖像可知：
①a<0, c>0
∴ac<0 正確
②∵頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.5
∴ x=− b/(2a) =1/2
(利用對(duì)稱(chēng)軸公式得出a、b的關(guān)系)
∴a+b=0 正確
③∵頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1
∴(4ac - b²)/4a=1(利用最值公式)
∴4ac﹣b2=4a正確
① 當(dāng)x= 1時(shí)，y= a+b+c>0
當(dāng)x= -1時(shí)，y= a-b+c<0 (a-b+c)(a+b+c)<0
∴(a+c)²﹣b²<0
(代入特殊值x=−1，x=1得到關(guān)于a、b、c表達(dá)式進(jìn)行相乘結(jié)合圖像將函數(shù)值與0作比較)
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