2023年初中數(shù)學(xué)反比例函數(shù)突破方法

我們先來看例題，最后會給大家總結(jié)反比例函數(shù)如何破題。

題目我們先易后難!

例題1：代表一類反比例函數(shù)定性分析題

這類題目屬于定性分析題，不要你實實在在算出具體數(shù)字的題目。但是要做對，也是需要你對反比例函數(shù)定義以及拋物線定義有所了解。這題不是單純只考反比例函數(shù)內(nèi)容還結(jié)合了拋物線知識。屬于雙線結(jié)合題。出題遵循先易后難，放在例題1，說明難度不大。拋物線有兩個不同交點(diǎn)，說明▲=b²-4ac>0可以得到。計算出K<0反比例過二、四象限。直接排除A、C兩個選項。接下來y=kx-k說明這個函數(shù)必過(1、0)點(diǎn)所以直接選D選項。如何理解必過(1.0)點(diǎn)，這個知識點(diǎn)經(jīng)常考。y=kx-k=k(x-1) 當(dāng)x取1時，無論K為何值。y必然為0 所以必過(1.0)點(diǎn)。

例題2：代表一類可求X與y分別是多少的反比例函數(shù)題

例題2難度不是很大。四邊形OADB面積為6，四邊形OADB是個不規(guī)則圖形。那么不規(guī)則圖形的面積計算方法必然是用割補(bǔ)法。很明顯這個S圖形OADB=S▲AOB+S▲ABD 因為S▲AOB=1則S▲ABD=5 2分之1的AB乘以AD等于5。接下來AB的長我們知道為 根號5 所以AD長為 2又根號5 當(dāng)我們得到AD長以后。有什么作用呢?接下來就要說解反比例函數(shù)的思路了。反比例函數(shù)題大概率是求K值，求K值我們必然要聯(lián)系到K=xy 這個代數(shù)式，那么要求K值必然要求xy相乘為多少。那么是不是分兩種情況!!!

一種情況：我們可以單獨(dú)求出X和Y各是多少。然后最后相乘求K

另外一種情況:題目無法求出X和Y各是多少，只能求出XY相乘的積是一個定值。那么積也是K

當(dāng)你分清楚這兩個問題后，再思考!要求X和Y其實質(zhì)就是求線段的長度，那么是不是要做反比例函數(shù)上的點(diǎn)垂直X 軸和垂直Y軸的輔助線?所以出現(xiàn)反比例函數(shù)題目，不管你會不會做，先找反比例函數(shù)上的點(diǎn)做垂直X 軸和垂直Y軸的輔助線!!!

做完輔助線后必然的步驟就是求線段的長度了!!!那么求線段的長度也是我們經(jīng)常遇到的數(shù)學(xué)題。求線段長度的方法有哪些呢?再我還沒寫出來的時候自己腦袋再思考思考。

想到了嗎?

求線段長度經(jīng)常用的方法有以下幾種：

1、三角函數(shù)法：

有涉及三角函數(shù)的必須是要在直角三角形里面去做。普通三角形給你其中一個內(nèi)角是特殊角是沒有任何意義的。因此要使用三角函數(shù)法求線段長度，也是需要在直角三角形里面找線段直接比例的。如果沒有直角三角形，但是出現(xiàn)了上圖的特殊角看看能不能構(gòu)造直接三角形。

2、勾股定理：

這個方法始終貫穿我們初中階段。

3、全等三角形的判定方法。(SSS/SAS/ASA/AAS/HL)五種判定全等三角形的方法記住了沒有?

4、用證明相似三角形的方法求知線段的長度。

只要是用相似三角形的方法求線段長度，那么經(jīng)常遇到如下模型：

大直角三角形套小直角三角形模型簡稱大套小

K模型

就是三個直角三角形兩兩相似的模型。

延伸了那么多題外知識點(diǎn)，我們回到剛才的題目。當(dāng)你算出AD長為 2又根號5之后，所以你要想到做D點(diǎn)垂直X軸。然后得到了上面的K模型。

再用勾股定理求X=2因此 xy=16 記住經(jīng)過二四象限K值為負(fù)數(shù)。最終答案為-16選C

例題3：代表一類含有2個反比例函數(shù)同時出現(xiàn)的題目

含有2個反比例函數(shù)的題目相對而言，會簡單一定。這類題目考察的實質(zhì)是。要會設(shè)點(diǎn)。

這個題目相對來說簡單一點(diǎn)。

例題4：代表一類無法求X和Y各是多少的。可以求xy相乘是定值的題目

梯形OACB面積為4，梯形是規(guī)則圖形，要把他們的面積表達(dá)式寫出來的第一步。

第二步，不管會不會做，先做反比例函數(shù)上的點(diǎn)到X軸和Y軸的輔助線。

一步一步推理，答案就出來了。

例題5：代表一類反比例函數(shù)取值范圍的題目

這類題目相對來說，你只要學(xué)一次，以后遇到都會做的類型。不比上面要思考好幾個步驟，又要結(jié)合到全等，相似的題目，那么復(fù)雜。深刻理解有交點(diǎn)是什么意思。有沒有交點(diǎn)幾何意義其實就是平移反比例函數(shù)取只有一個交點(diǎn)時候就是臨界點(diǎn)。那么很明顯，A點(diǎn)就是最左邊的臨界點(diǎn)。因此K值必然最小值是2。那么最大值呢?其實就是反比例函數(shù)和線段BC只有一個交點(diǎn)的時候。

答案選A 這題你要學(xué)會把如何快速求K 的方法背下來。遇到這種知道平面直角坐標(biāo)系上任意兩點(diǎn)的可以迅速求出K值。

例題6：代表滿足某種條件的定值面積的題型

這類題目看起來是很可怕的，但是實質(zhì)這類題目當(dāng)你學(xué)完我說的方法后，你會覺得太好用了。這類題目以后遇到再也不怕了!是不是覺得我說得神乎奇神?有點(diǎn)黃婆賣瓜，自賣自夸。步入正題。這類題目特征是什么?就是曲線上一個動點(diǎn)。看起來好可怕!反比例靜止的定要求，我都怕。還來動點(diǎn)!不好意思，再下告辭。不!老鄉(xiāng)別走。我take you fly

題目說P點(diǎn)是動點(diǎn)，實質(zhì)就是無論P(yáng)點(diǎn)如何運(yùn)動，題目中要我們求的S▲POA必然是定值。那么圖中有一個特殊點(diǎn)，就是P點(diǎn)運(yùn)動到C2曲線和y 軸交點(diǎn)的位置時。是不是就可以運(yùn)用到我們所學(xué)的萬年勾股定理去求解了?有學(xué)生問，老師為什么要這樣做?不好意思，如果不這樣做。隨便取任意一點(diǎn)求面積的話。華佗在世也解不了!(因為華佗是學(xué)醫(yī)的，所以解不了)那么華羅庚會不會，我就不懂了。

答案是：B

現(xiàn)在還覺得這類反比例函數(shù)動點(diǎn)可怕嗎?記住方法找特殊點(diǎn)。千萬別被出題老師思維帶跑偏了。出題老師說動點(diǎn)，你真的去隨便找一個點(diǎn)然后做輔助線。然后就沒有然后了，根本沒辦法算。

例題7：代表反比例函數(shù)題中難度指數(shù)4顆星★★★★結(jié)合了多個知識點(diǎn)

首先我要告訴你的是，當(dāng)題目中有看到中點(diǎn)字眼的題目，一定要想到三個常用關(guān)系式。

一是直角三角形，斜邊上的中點(diǎn)。那么中線會等于斜邊的一半。

二是想到如果題目中有A(x1.y1)和B(x2.y2)這兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，那么AB線段的中點(diǎn)C橫坐標(biāo)為2分之x1+x2 ，C的縱坐標(biāo)為2分之y1+y2

三是要想到三角形的中位線。

那么這個題目運(yùn)用到的是哪個呢?很明顯是第三個了。如何理解OQ最大值為2分之3是這個題目的解題關(guān)鍵。反比例函數(shù)是關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)對稱圖形，所以只要是y=kx的函數(shù)必然會被反比例函數(shù)分成三段。其中AO=BO 是一定的。這個必須當(dāng)做知識點(diǎn)背下來。Q又是AP的中點(diǎn) 。因此能得到OQ就是三角形APB的中位線。那么OQ取最大值，必然就是BP取最大值。然后根據(jù)題目意思可得。P點(diǎn)是圓上運(yùn)動的動點(diǎn)，B是固定的點(diǎn)。要使得BP 最大，BP一定要過圓心C點(diǎn)。那么圖就可如下圖所畫。

然后又回到剛才所說的，要求K，不管會做不會做，先找反比例函數(shù)上的點(diǎn)做垂直X軸和Y軸。那么這個題目中有兩個點(diǎn)在反比例函數(shù)上。是A還是B?閉上眼睛也要選B?why

A點(diǎn)和B點(diǎn)誰的已知量更多?必然是B啦!(這就是解題思路)

又變成求線段長度的問題了。上面已經(jīng)說了，求線段長度就那么4種常用的。這個題目用什么?勾股定理!why ?

因為整個題目做下來你是不是發(fā)現(xiàn)題目中還有一個已知條件沒有用?一次函數(shù)y=2x

說到這里補(bǔ)充一個知識點(diǎn)，當(dāng)你看y=x或者y=2x或者y=3x這樣的一次函數(shù)。其實實質(zhì)告訴你幾何意義是這個函數(shù)和X軸構(gòu)成的直角三角形的y/x比值是多少。然后可得到BD比OD在這個題目中等于2。接下來。設(shè)OD=X則BD=2X 則CD=2-X 又因為BP最大為3 所以BC為2 得到萬年勾股大法：CD²+BD²=BC² 可解X=4/5 y=2x=8/5 K值=32/25 選C

例題8：這個題目代表一類知邊長求面積比后解K值

我們看但C始終在雙曲線上運(yùn)動，是不是又是有點(diǎn)類似上面例題6，滿足某種條件下。K值始終是一個定值。類似滿足某種條件下，面積是個定值。有點(diǎn)神似!第一步。要干嘛?會做不會做，先把C垂直與x 軸和Y軸輔助線做了!!!!已經(jīng)強(qiáng)調(diào)好幾遍了，記到腦海里。

反比例函數(shù)和經(jīng)過原點(diǎn)的kx=y又出現(xiàn)了。說明要想到AO=OB。題目中又有交代▲ABC為等腰三角形。又告訴你∠ACB=120°那么肯定要把OC連起來。自然而然的事情。因為120不屬于上面所說的特殊角。60度才是特殊角度。

那么輔助線就是如圖所示。如果你沒有做出這個輔助線，一定要好好思考為什么自己的反比例函數(shù)解題思路沒有形成。同時也希望看完我的思路能變成自己的。這次是你看這篇文章的用處。同時更希望學(xué)有所成，能將方法用到你接下來的中考里面。

做完輔助線我們發(fā)現(xiàn)，題目又回到上面我所說的K模型來了。出現(xiàn)了RT▲ADO RT▲AOC RT▲OEC 但是我們發(fā)現(xiàn)。整個題目是不是沒有告訴你任何一邊的長度?沒有告訴我們?nèi)魏我贿叺拈L度，那么我們要求K值，必然無法單個求X和單個Y值是多少。所以必然用第二種求K值的方法，就是求出xy相乘的值多少也可以做。

有三個RT▲相似，先把比例寫出來。

相似三角形面積比等于邊長比的平方

這當(dāng)做定理背下來，對你解題非常有幫助。再補(bǔ)充個題外的。相似體的體積比等于邊長比的3次方。

是不是有點(diǎn)不可思議的解題方法!嘆為觀止的感覺!

反比例函數(shù)題目很多，但是題型解題方法其實基本上就是上面幾個類。當(dāng)然反比例函數(shù)的難題也不僅僅是這幾種。還有很多難度指數(shù)為5顆星★★★★★的題目，簡單放個下面5顆星的題目給大家。大家有空可以嘗試做一做。

這題答案為2

學(xué)完上面的方法，反比例函數(shù)題目。相信你們也不會看到就怕了。起碼覺得有思路去破題。要學(xué)會總結(jié)平常自己遇到的題目。題目是海量的，題型其實是有限�？紒砜既�，他們?nèi)f變不離其宗。還有一個需要跟大家分享的：反比例函數(shù)如果出現(xiàn)整個題目只出現(xiàn)一個數(shù)字的!!!這類題實在不會做。你猜答案只能猜3個數(shù)字。

一是 : 數(shù)字本身。

二是：數(shù)字的2分之一。

三是：數(shù)字的2倍。

反比例函數(shù)大概率會附帶圖。具體數(shù)字是哪個?那么你要看圖中給的數(shù)字線段的長度和要求的是什么結(jié)合起來。希望這個方法能在你實在想不出的時候幫你拿到分?jǐn)?shù)。好比例題4.不會做!!!你猜也只能是4或者2梯形OACB面積為4。那么大的面積才為4 那么2的概率就更大了。這是解題技巧的問題。為什么會這樣!!這是老師多年教學(xué)總結(jié)出來的經(jīng)驗之談。

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