2023年初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)中等腰三角形存在性問題

兩圓一線

一線，指的是線段的中垂線;

兩圓，指的是以線段長度為半徑，線段端點(diǎn)為圓心而產(chǎn)生的兩個(gè)圓。

首先，我們來解決第一個(gè)問題，等腰三角形的生成問題。

在平面內(nèi)有一線段AB，點(diǎn)C為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若△ABC為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)C有幾個(gè)?點(diǎn)C的軌跡又是什么?根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，線段AB有可能為底邊，也有可能為腰，故有兩種基本情況。：線段AB為底邊，則有AC=BC，即點(diǎn)C到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn)C在線段AB的中垂線上，此時(shí)點(diǎn)C有無數(shù)個(gè)，點(diǎn)C的軌跡為直線(不取與AB相交的點(diǎn))，如下圖：

情況（2）

：線段AB為腰，則有：①AB=AC，即點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離等于點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離，則點(diǎn)C在以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑的圓上，此時(shí)點(diǎn)C有無數(shù)個(gè)，點(diǎn)C的軌跡為圓(不取點(diǎn)B和與A、B共線點(diǎn))，如下圖：②AB=BC，即點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離等于點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離，則點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心，AB長為半徑的圓上，此時(shí)點(diǎn)C有無數(shù)個(gè)，點(diǎn)C的軌跡為圓(不取點(diǎn)A和與A、B共線的點(diǎn))，如下圖：

請記住這兩圓一線：

綜上所述，這樣的點(diǎn)C有無數(shù)個(gè)，點(diǎn)C的軌跡為兩個(gè)圓和一條直線，為了方便記憶，我們簡稱“兩圓一線”，這是等腰三角形存在性處理的基本定性策略。

- 嘉成老師解析 -

同學(xué)們～碰到一次函數(shù)跟幾何結(jié)合的題目，等腰三角形的存在性問題時(shí)，要想到兩圓一線的方法;每一個(gè)點(diǎn)都有可能是定點(diǎn)，所有分3種情況進(jìn)行討論，其中一種是找垂直平分線，另外兩種是以給定的一個(gè)點(diǎn)為圓心，線段長度為半徑，垂直平分線/圓與所給線段的交點(diǎn)，即為所求。

其次，我們來解決第二個(gè)問題，等腰三角形的邊長問題。

求等腰三角形的邊長，我們通常將其轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離問題，所以，我們來推導(dǎo)一下平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式。已知平面內(nèi)兩點(diǎn)A(1,2)、B(6,4)，求線段AB的長度。連接AB，以AB為斜邊，構(gòu)造直角邊與坐標(biāo)軸平行的直角三角形，利用勾股定理解題，如下圖：

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