2023年初中數(shù)學(xué)一元一次方程解決應(yīng)用題的分類五

行程問題

(一)知識(shí)點(diǎn)

1.行程問題中的三個(gè)基本量及其關(guān)系：

路程=速度×時(shí)間 時(shí)間=路程÷速度 速度=路程÷時(shí)間

2.行程問題基本類型

(1)相遇問題：快行距+慢行距=原距

(2)追及問題：快行距-慢行距=原距

(3)航行問題：順?biāo)?風(fēng))速度=靜水(風(fēng))速度+水流(風(fēng))速度

逆水(風(fēng))速度=靜水(風(fēng))速度-水流(風(fēng))速度

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速(靜不速)不變的特點(diǎn)考慮相等關(guān)系

(二)例題解析

● 1.從甲地到乙地，某人步行比乘公交車多用3.6小時(shí)，已知步行速度為每小時(shí)8千米，公交車的速度為每小時(shí)40千米，設(shè)甲、乙兩地相距x千米，則列方程為_____ 。

【解】

等量關(guān)系 步行時(shí)間-乘公交車的時(shí)間=3.6小時(shí)

列出方程是：X/8-X/40=3.6

● 2.某人從家里騎自行車到學(xué)校。若每小時(shí)行15千米，可比預(yù)定時(shí)間早到15分鐘;若每小時(shí)行9千米，可比預(yù)定時(shí)間晚到15分鐘;求從家里到學(xué)校的路程有多少千米?

【解】

等量關(guān)系

(1)速度15千米行的總路程=速度9千米行的總路程

(2)速度15千米行的時(shí)間+15分鐘=速度9千米行的時(shí)間-15分鐘

提醒：速度已知時(shí)，設(shè)時(shí)間列路程等式的方程，設(shè)路程列時(shí)間等式的方程。

方法一：設(shè)預(yù)定時(shí)間為x小/時(shí)，則列出方程是：

15(x-0.25)=9(x+0.25)

方法二：設(shè)從家里到學(xué)校有x千米，則列出方程是：

X/15+15/60=X/9-15/60

●3.一列客車車長(zhǎng)200米，一列貨車車長(zhǎng)280米，在平行的軌道上相向行駛，從兩車頭相遇到兩車車尾完全離開經(jīng)過16秒，已知客車與貨車的速度之比是3：2，問兩車每秒各行駛多少米?

【解】

提醒：將兩車車尾視為兩人，并且以兩車車長(zhǎng)和為總路程的相遇問題。

等量關(guān)系：快車行的路程+慢車行的路程=兩列火車的車長(zhǎng)之和

設(shè)客車的速度為3X米/秒，貨車的速度為2X米/秒，

則 16×3X+16×2X=200+280

●4.與鐵路平行的一條公路上有一行人與騎自行車的人同時(shí)向南行進(jìn)。行人的速度是每小時(shí)3.6km，騎自行車的人的速度是每小時(shí)10.8km。如果一列火車從他們背后開來，它通過行人的時(shí)間是22秒，通過騎自行車的人的時(shí)間是26秒。

(1)行人的速度為每秒多少米?

(2)這列火車的車長(zhǎng)是多少米?

【解】

提醒：將火車車尾視為一個(gè)快者，則此題為以車長(zhǎng)為提前量的追擊問題。

等量關(guān)系：

① 兩種情形下火車的速度相等

② 兩種情形下火車的車長(zhǎng)相等

在時(shí)間已知的情況下，設(shè)速度列路程等式的方程，設(shè)路程列速度等式的方程。

(1)行人的速度是：3.6km/時(shí)=3600米÷3600秒=1米/秒

騎自行車的人的速度是：10.8km/時(shí)=10800米÷3600秒=3米/秒

(2)方法一：設(shè)火車的速度是X米/秒，則 26×(X-3)=22×(X-1) 解得X=4

方法二：設(shè)火車的車長(zhǎng)是x米，則(X+22×1)/22=(X+26×3)/26

●5.一次遠(yuǎn)足活動(dòng)中，一部分人步行，另一部分乘一輛汽車，兩部分人同地出發(fā)。汽車速度是60千米/時(shí)，步行的速度是5千米/時(shí)，步行者比汽車提前1小時(shí)出發(fā)，這輛汽車到達(dá)目的地后，再回頭接步行的這部分人。出發(fā)地到目的地的距離是60千米。

步行者在出發(fā)后經(jīng)過多少時(shí)間與回頭接他們的汽車相遇(汽車掉頭的時(shí)間忽略不計(jì))

【解】

提醒：此類題相當(dāng)于環(huán)形跑道問題，兩者行的總路程為一圈，即步行者行的總路程+汽車行的總路程=60×2

設(shè)步行者在出發(fā)后經(jīng)過X小時(shí)與回頭接他們的汽車相遇，

則 5X+60(X-1)=60×2

●6.某人計(jì)劃騎車以每小時(shí)12千米的速度由A地到B地，這樣便可在規(guī)定的時(shí)間到達(dá)B地，但他因事將原計(jì)劃的時(shí)間推遲了20分，便只好以每小時(shí)15千米的速度前進(jìn)，結(jié)果比規(guī)定時(shí)間早4分鐘到達(dá)B地，求A、B兩地間的距離。

【解】

方法一：設(shè)由A地到B地規(guī)定的時(shí)間是 x 小時(shí)，則

12x=15×(X-20/60-4/60)

X=2

12X=12×2=24(千米)

方法二：設(shè)由A、B兩地的距離是 x 千米，則(設(shè)路程，列時(shí)間等式)

X/12-X/15=20/60+4/60

X=24

答：A、B兩地的距離是24千米。

溫馨提醒：當(dāng)速度已知，設(shè)時(shí)間，列路程等式;設(shè)路程，列時(shí)間等式是我們的解題策略。

●7.一列火車勻速行駛，經(jīng)過一條長(zhǎng)300m的隧道需要20s的時(shí)間。隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時(shí)間是10s，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能否求出火車的長(zhǎng)度?火車的長(zhǎng)度是多少?若不能，請(qǐng)說明理由。

【解】

只要將車尾看作一個(gè)行人去分析即可，前者為此人通過300米的隧道再加上一個(gè)車長(zhǎng)，后者僅為此人通過一個(gè)車長(zhǎng)。

此題中告訴時(shí)間，只需設(shè)車長(zhǎng)列速度關(guān)系，或者是設(shè)車速列車長(zhǎng)關(guān)系等式。

方法一：設(shè)這列火車的長(zhǎng)度是x米，根據(jù)題意，得

(300+X)/20=X/10

x=300

答：這列火車長(zhǎng)300米。

方法二：設(shè)這列火車的速度是x米/秒，

根據(jù)題意，得

20x-300=10x x=30 10x=300

答：這列火車長(zhǎng)300米。

●8.甲、乙兩地相距x千米，一列火車原來從甲地到乙地要用15小時(shí)，開通高速鐵路后，車速平均每小時(shí)比原來加快了60千米，因此從甲地到乙地只需要10小時(shí)即可到達(dá)，列方程得________ 。

【解】

X/10-X/15=60

●9.兩列火車分別行駛在平行的軌道上，其中快車車長(zhǎng)為100米，慢車車長(zhǎng)150米，已知當(dāng)兩車相向而行時(shí)，快車駛過慢車某個(gè)窗口所用的時(shí)間為5秒。

(1)兩車的速度之和及兩車相向而行時(shí)慢車經(jīng)過快車某一窗口所用的時(shí)間各是多少?

(2)如果兩車同向而行，慢車速度為8米/秒，快車從后面追趕慢車，那么從快車的車頭趕上慢車的車尾開始到快車的車尾離開慢車的車頭所需的時(shí)間至少是多少秒?

【解】

① 快車駛過慢車某個(gè)窗口時(shí)：研究的是慢車窗口的人和快車車尾的人的相遇問題，此時(shí)行駛的路程和為快車車長(zhǎng)!

② 慢車駛過快車某個(gè)窗口時(shí)：研究的是快車窗口的人和慢車車尾的人的相遇問題，此時(shí)行駛的路程和為慢車車長(zhǎng)!

③ 快車從后面追趕慢車時(shí)：研究的是快車車尾的人追趕慢車車頭的人的追擊問題，此時(shí)行駛的路程和為兩車車長(zhǎng)之和!

(1)兩車的速度之和=100÷5=20(米/秒)

慢車經(jīng)過快車某一窗口所用的時(shí)間=150÷20=7.5(秒)

(2)設(shè)至少是x秒，(快車車速為20-8)

則 (20-8)X-8X=100+150

X=62.5

答：至少62.5秒快車從后面追趕上并全部超過慢車。

●10.甲、乙兩人同時(shí)從A地前往相距25.5千米的B地，甲騎自行車，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍還快2千米/時(shí)，甲先到達(dá)B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，這時(shí)距他們出發(fā)時(shí)已過了3小時(shí)。求兩人的速度。

【解】

設(shè)乙的速度是X千米/時(shí)，則

3X+3 (2X+2)=25.5×2

∴ X=5

2X+2=12

答：甲、乙的速度分別是12千米/時(shí)、5千米/時(shí)。

●11.一艘船在兩個(gè)碼頭之間航行，水流的速度是3千米/時(shí)，順?biāo)�航行需�?小時(shí)，逆水航行需要3小時(shí)，求兩碼頭之間的距離。

【解】

設(shè)船在靜水中的速度是X千米/時(shí)，則

3×(X-3)=2×(X+3)

解得x=15 2×(X+3)=2×(15+3) =36(千米)

答：兩碼頭之間的距離是36千米。

●12.小明在靜水中劃船的速度為10千米/時(shí)，今往返于某條河，逆水用了9小時(shí)，順?biāo)�用�?小時(shí)，求該河的水流速度。

【解】

設(shè)水流速度為x千米/時(shí)，

則9(10-X)=6(10+X)

解得X=2

答：水流速度為2千米/時(shí)

●13.某船從A碼頭順流航行到B碼頭，然后逆流返行到C碼頭，共行20小時(shí)，已知船在靜水中的速度為7.5千米/時(shí)，水流的速度為2.5千米/時(shí)，若A與C的距離比A與B的距離短40千米，求A與B的距離。

【解】

設(shè)A與B的距離是X千米，(請(qǐng)你按下面的分類畫出示意圖，來理解所列方程)

① 當(dāng)C在A、B之間時(shí)，X/(7.5+2.5)+40/(7.5-2.5)=20

解得x=120

② 當(dāng)C在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，

X/(7.5+2.5)+(X+X-40)/(7.5-2.5)=20

解得x=56

答：A與B的距離是120千米或56千米。

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