2023年中考數(shù)學查缺補漏：圓的必考綜合題

一、圓的有關概念

1.與圓有關的概念和性質(zhì)

1)圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形.

2)弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長的弦.

3)�。簣A上任意兩點間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.

4)圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.

5)圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個交點的角叫做圓周角.

6)弦心距：圓心到弦的距離.

2.注意

1)經(jīng)過圓心的直線是該圓的對稱軸，故圓的對稱軸有無數(shù)條;

2)3點確定一個圓，經(jīng)過1點或2點的圓有無數(shù)個.

3)任意三角形的三個頂點確定一個圓，即該三角形的外接圓.

二、垂徑定理及其推論

1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

關于垂徑定理的計算常與勾股定理相結合，解題時往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構造直角三角形.

2.推論

1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧;

2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

三、圓心角、弧、弦的關系

1.定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等.圓心角、弧和弦之間的等量關系必須在同圓等式中才成立.

2.推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.

四、圓周角定理及其推論

1.定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

2.推論：1)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等. 2)直徑所對的圓周角是直角.

圓內(nèi)接四邊形的對角互補.在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化.比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化;同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化;連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進行轉(zhuǎn)化等.

五、與圓有關的位置關系

1.點與圓的位置關系

設點到圓心的距離為d.

(1)d

(2)d=r⇔點在⊙O上;

(3)d>r⇔點在⊙O外.

判斷點與圓之間的位置關系，將該點的圓心距與半徑作比較即可.

2.直線和圓的位置關系

由于圓是軸對稱和中心對稱圖形，所以關于圓的位置或計算題中常常出現(xiàn)分類討論多解的情況.

六、切線的性質(zhì)與判定

1.切線的性質(zhì)

1)切線與圓只有一個公共點.2)切線到圓心的距離等于圓的半徑.3)切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

利用切線的性質(zhì)解決問題時，通常連過切點的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)來解決問題.

2.切線的判定

1)與圓只有一個公共點的直線是圓的切線(定義法).

2)到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.

3)經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直;②不知道直線與圓有沒有公共點時，作垂直，證垂線段等于半徑.

七、三角形與圓

1.三角形的外接圓相關概念

經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.外心是三角形三條垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離相等.

2.三角形的內(nèi)切圓

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形.內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形的三條邊的距離相等.

八、正多邊形的有關概念

正多邊形中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心.

正多邊形半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形半徑.

正多邊形中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形中心角.

正多邊形邊心距：正多邊形中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.

九、與圓有關的計算公式

1.弧長和扇形面積的計算：

扇形的弧長;

扇形的面積.

2.圓錐與側(cè)面展開圖

1)圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長.

2)若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，

圓錐的側(cè)面積為S圓錐側(cè)=.

圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側(cè)+S圓錐底=πrl+πr2=πr·(l+r).

在求不規(guī)則圖形的面積時，注意利用割補法與等積變化方法歸為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的公式求解.

在中考中一般會在解答題位置考查到圓的綜合題，涉及到圓的相關證明和計算，這類題目不僅僅會考查到圓的相關知識點，還會涉及到平行線、等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、三角函數(shù)、特殊四邊形等知識點，有一定的綜合性。

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